Minicursos
Primera semana
Polinomios de Ehrhart
La teoría de Ehrhart mide discretamente un politopo P al contar los puntos enteros dentro de sus dilataciones P, 2P, 3P, ... y las funciones de conteo resultantes tienen una estructura polinomial hermosa. Esbozaremos algunos teoremas fundamentales sobre los polinomios de Ehrhart, daremos una muestra de resultados actuales en la teoría de Ehrhart y exhibiremos varias aplicaciones y problemas abiertos.
El país de las maravillas de los polítopos
Un politopo es la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos en un espacio euclídeo; equivalentemente, los politopos son intersecciones acotadas de un número finito de semiespacios cerrados. A pesar de esta sencilla definición, los politopos tienen una teoría muy rica y en continuo desarrollo. En este minicurso, nos centraremos sobre todo en los f-vectores de los politopos: para un politopo P, su f-vector registra el número de caras de P de distintas dimensiones. Aunque se conocen bien los f-vectores de los politopos 3-dimensionales y de los politopos simpliciales (o simples) d-dimensionales, se sabe muy poco sobre los f-vectores de los politopos generales o incluso sobre los f-vectores de los politopos simpliciales con alguna estructura adicional (por ejemplo, simetría). Discutiremos varios resultados clásicos y otros muy recientes sobre los f-vectores de los politopos.
Segunda semana
Combina-Tori(c)a
Una variedad algebraica es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómiales y la geometría algebraica es el estudio de tales objetos. La geometría algebraica se considera a menudo un campo muy abstracto, pero cierta clase de variedades algebraicas conocidas como variedades tóricas tiene hermosas conexiones con la combinatoria y la geometría discreta. En particular, el estudio de las variedades tóricas combina álgebra, geometría y combinatoria para producir puentes maravillosos y sorprendentes entre estas áreas.
Empezaremos desde cero, haremos muchos ejemplos y terminaremos las sesiones con un esbozo del famoso teorema g, que describe el número posible de caras de un politopo simplicial (un objeto fundamental en combinatoria y geometría discreta). Por ejemplo, el octaedro tiene 6 caras de dimensión cero (los vértices), 12 caras de una dimensión (las aristas) y 8 caras de dos dimensiones (los triángulos). El teorema g describe las posibles variantes de esta secuencia (6,12,8) de números y las variedades tóricas son la herramienta clave.
Raices reales, log-concavidad y matroides
Las matroides son estructuras combinatorias que modelan la independencia, por ejemplo entre las aristas de un grafo o los vectores de un espacio lineal. Presentaré la teoría de matroides junto con clases de polinomios reales que capturan muchas de sus características importantes. Los polinomios reales univariados con raices reales son omnipresentes en combinatoria y existen varias generalizaciones multivariadas interesantes. En orden creciente de generalidad, discutiremos los polinomios determinantales, estables y log-cóncavos, sus propiedades reales y combinatorias, y sus aplicaciones a las matroides y a los tiempos de mezcla de ciertos paseos aleatorios.